Информация о задаче

Задача 58455

Тема:

[

Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство

]

Сложность: 6+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Используя проективные преобразования прямой, докажите теорему о полном четырехстороннике (задача 30.34).

Решение

При проецировании прямой QR из точки A на прямую CD точки Q, R, K, L проецируются в точки D, C, P, L соответственно. Следовательно, согласно задаче 30.2, б) (QRKL) = (DCPL). Аналогично, проецируя из точки B прямую CD на прямую QR, получаем (DCPL) = (RQKL), следовательно, (QRKL) = (RQKL). С другой стороны,

(RQKL) = $\displaystyle {\frac{RK}{RL}}$ : $\displaystyle {\frac{QK}{QL}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{QK}{QL} :\frac{RK}{RL}}\right.$ $\displaystyle {\frac{QK}{QL}}$ : $\displaystyle {\frac{RK}{RL}}$ $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{QK}{QL} :\frac{RK}{RL}}\right)^{-1}_{}$ = (QRKL)^-1.

Из этих двух равенств следует, что (QRKL)² = 1, т. е. либо (QRKL) = 1, либо (QRKL) = - 1. Но согласно задаче 30.8 двойное отношение различных точек не может равняться единице.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	5
Название	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство
Тема	Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство
задача
Номер	30.047