Задача 58459

Тема:    [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение ]

Сложность: 6 Классы: 10,11

Условие

Даны окружность, прямая и точки A, A', B, B', C, C', M, лежащие на этой прямой. Согласно задачам 30.1 и 30.3 существует единственное проективное преобразование данной прямой на себя, отображающее точки A, B, C соответственно в A', B', C'. Обозначим это преобразование через P. Постройте при помощи одной линейки а) точку P(M); б) неподвижные точки отображения P (задача Штейнера).

Решение

Обозначим данные прямую и окружность через l и S соответственно. Пусть O — произвольная точка данной окружности, и пусть A₁, A₁', B₁, B₁', C₁, C₁' — образы точек A, A', B, B', C, C' при проецировании прямой l на окружность S из точки O, т. е. A₁ (соответственно A₁', B₁,...) — отличная от O точка пересечения прямой AO (соответственно A'O, BO,...) с окружностью S. Обозначим через B₂ точку пересечения прямых A₁'B₁ и A₁B₁', а через C₂ — точку пересечения прямых A₁'C₁ и A₁C₁'. Пусть P₁ — композиция проецирований прямой l на окружность S из точки O, а затем окружности S на прямую B₂C₂ из точки A₁'; P₂ — композиция проецирований B₂C₂ на S из точки A₁, а затем S на l из точки O. Тогда согласно задаче 30.9 преобразования P₁ и P₂ являются проективными, причем их композиция точки A, B, C отображает соответственно в A', B', C'.
Ясно, что все рассмотренные точки можно построить при помощи одной линейки (в том порядке, в котором они вводились).
а) Пусть M₁ — отличная от O точка пересечения прямой MO с окружностью S; M₂ = P₁(M) — точка пересечения прямых A₁'M₁ и B₂C₂; M₃ — отличная от A₁ точка пересечения прямой M₂A₁ с окружностью S; P(M) = P₂(P₁(M)) — точка пересечения прямых l и OM₃.
б) Пусть M₁ и N₁ — точки пересечения окружности S с прямой B₂C₂. Тогда неподвижные точки преобразования P — это точки пересечения прямых OM₁ и ON₁ с прямой l.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	30
Название	Проективные преобразования
Тема	Проективная геометрия
параграф
Номер	6
Название	Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение
Тема	Применение проективных преобразований прямой в задачах на построение
задача
Номер	30.052