Задача 60280

Темы:    [ Индукция (прочее) ] [ Рекуррентные соотношения ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Числовая последовательность  A₁, A₂, ..., A_n, ...  определена равенствами   A₁ = 1,   A₂ = – 1,   A_n = – A_n–1 – 2A_n–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.

Решение 1

  Рассмотрим другую последовательность  B₁, ..., B_n, ..., определенную тем же рекуррентным соотношением, но с другими начальными условиями:
B₁ = 1,  B₂ = 3.  Докажем по индукции соотношения:  
  База.     
  Шаг индукции.

  Итак,  

Решение 2

  Не нарушая рекуррентное соотношение, добавим к последовательности член  A₀ = 0.  Рассмотрим последовательность      Заметим, что      Поскольку  C₁ = 1,  отсюда следует, что  C_n = 2^n–1  и  

Замечания

Решение 2 – перевод на "школьный" язык стандартного матричного подхода к подобным задачам.

Действительно, из условия следует, что     Отсюда

Сравнивая определители левой и правой части, мы видим, что    

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	1
Название	Метод математической индукции
Тема	Индукция
параграф
Номер	1
Название	Аксиома индукции
Тема	Индукция (прочее)
задача
Номер	01.007