ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60323
Темы:    [ Плоскость, разрезанная прямыми ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Системы отрезков, прямых и окружностей ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

Решение

  Докажем по индукции, что количество частей равно  1 + ½ n(n + 1).  База  (n = 1)  очевидна.
  Шаг индукции. Пусть  n > 1.  По предположению индукции перед проведением n-й прямой было  1 + ½ (n – 1)n  частей. Новая прямая делится точками пересечения со старыми прямыми на n интервалов. Каждый из этих интервалов разбивает одну часть на две. Следовательно, добавится n частей. Поэтому всего частей станет  1 + ½ (n – 1)n + n = 1 + ½ n(n + 1).


Ответ

1 + ½ n(n + 1).

Замечания

Из решения видно, что если прямые не находятся в общем положении, то количество частей будет меньше указанного в ответе.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 1
Название Метод математической индукции
Тема Индукция
параграф
Номер 3
Название Индукция в геометрии и комбинаторике
Тема Индукция (прочее)
задача
Номер 01.050

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .