Задача 60390

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ Итерации ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Условие

Докажите, что для любого натурального a найдётся такое натуральное n, что все числа  n + 1,  nⁿ + 1,  nⁿⁿ + 1,  ...  делятся на a.

Подсказка

n = 2a – 1.

Решение

Если n нечётно, то все указанные числа делятся на  n + 1.  Поэтому подходит любое нечётное число n, для которого  n + 1  кратно a. Например,
n = 2a – 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	2
Название	Комбинаторика
Тема	Комбинаторика
параграф
Номер	3
Название	Размещения, перестановки и сочетания
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	02.056