ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60581
Темы:    [ Числа Фибоначчи ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
Название задачи: Числа Фибоначчи и треугольник Паскаля.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите равенство:  
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)


Подсказка

Равенство можно доказать методом математической индукции. Другое решение можно получить, если воспользоваться задачами 60576 и 60403.


Решение 1

Проверим, что данные суммы Sn удовлетворяют рекуррентному определению чисел Фибоначчи:


Решение 2

Рассмотрим последовательности длины  n – 1,  состоящие из нулей и единиц, в которых нет двух рядом стоящих единиц. Согласно задаче 60576 количество таких последовательностей равно Fn+1. С другой стороны, согласно задаче 60403 число таких последовательностей, содержащих ровно k единиц, равно      Суммируя по  kn/2  (большего числа единиц быть не может), получаем нужное равенство.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 3
Название Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема Алгебра и арифметика
параграф
Номер 4
Название О том, как размножаются кролики
Тема Классическая комбинаторика
задача
Номер 03.129

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .