ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60596
Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Числа Фибоначчи ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть     Чему равны Pn и Qn?


Решение

Заметим, что     то есть  Pn+1 = QnQn+1 = Pn + Qn.  Значит,  Pn+2 = Qn+1 = Pn + Qn = Pn + Pn+1.  Так как
P1/Q1 = 1,  P2/Q2 = 2,  то  P1 = 1,  P2 = 2,  и последовательность Pn совпадает с последовательностью Fn+1 чисел Фибоначчи.


Ответ

Pn = Fn+1Qn = Fn .

Замечания

Соседние числа Фибоначчи взаимно просты (см. задачу 60574), поэтому приравнивание числителей и знаменателей равных дробей было правомочным.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 3
Название Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема Алгебра и арифметика
параграф
Номер 5
Название Цепные дроби
Тема Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер 03.144

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .