ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60621
Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Приближения чисел ]
[ Линейные рекуррентные соотношения ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любых целых чисел p и q  (q ≠ 0),  справедливо неравенство  


Решение

  Предположим, что     для некоторой дроби p/q. Согласно задаче 60619 число p/q является подходящей дробью Pn/Qn к .
  Рассмотрим последовательность чисел  qn – |Pn+kQn – PnQn+k|.  Она удовлетворяет начальным условиям  q0 = 0,  q1 = 1  и рекуррентному соотношению  qk = 2qk–1 + qk–2  (k ≥ 2).  Поэтому числа qn совпадают со знаменателями подходящих дробей к :   qk = Qk–1  (k ≥ 1),  то есть  
  Чтобы получить противоречие с исходным предположением, достаточно доказать неравенство  
  Свойства чисел Qn похожи на свойства чисел Фибоначчи. В частности, для них можно доказать равенство, аналогичное соотношению из задачи 60566:   Qn+k = Qk–1Qn+1Qk–2Qn.  Поэтому  
  Остается заметить, что  Qn+1/Qk5/2  и  Qk–2/Qk–11/2 .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 3
Название Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема Алгебра и арифметика
параграф
Номер 5
Название Цепные дроби
Тема Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер 03.169

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .