ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60623
Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Квадратные уравнения и системы уравнений ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что положительный корень квадратного уравнения  bx² – abx – a = 0,  где a и b – различные натуральные числа, разлагается в чисто периодическую цепную дробь с длиной периода, равной 2.
б) Верно ли обратное утверждение?


Подсказка

Рассмотрите цепную дробь  [].


Решение

Число α, заданное периодической цепной дробью  [],  удовлетворяет соотношению     которое легко приводится к виду
bα² – abα – a = 0.  Таким образом, α и является положительным корнем данного квадратного уравнения.


Ответ

б) Верно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 3
Название Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема Алгебра и арифметика
параграф
Номер 5
Название Цепные дроби
Тема Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер 03.171

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .