Задача 60623

Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Квадратные уравнения и системы уравнений ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

а) Докажите, что положительный корень квадратного уравнения  bx² – abx – a = 0,  где a и b – различные натуральные числа, разлагается в чисто периодическую цепную дробь с длиной периода, равной 2.
б) Верно ли обратное утверждение?

Подсказка

Рассмотрите цепную дробь  [].

Решение

Число α, заданное периодической цепной дробью  [],  удовлетворяет соотношению     которое легко приводится к виду
bα² – abα – a = 0.  Таким образом, α и является положительным корнем данного квадратного уравнения.

Ответ

б) Верно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	5
Название	Цепные дроби
Тема	Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер	03.171