ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60654
Темы:    [ Простые числа и их свойства ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любого простого числа  p > 2  числитель дроби  m/n = 1/1 + 1/2 + ... + 1/p–1  делится на p.


Подсказка


Решение

Разобьём дроби на пары со знаменателями k и  p – k.  Сумма таких дробей имеет числитель p, а её знаменатель не кратен p. Значит, после сложения всех дробей получим дробь с числителем, кратным p, и знаменателем, не кратным p.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 2
Название Делимость
Тема Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер 04.028

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .