ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60672
Темы:    [ Инварианты ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Камни лежат в трёх кучках: в одной – 51 камень, в другой – 49 камней, а в третьей – 5 камней. Разрешается объединять любые кучки в одну, а также разделять кучку из чётного количества камней на две равные. Можно ли получить 105 кучек по одному камню в каждой?


Решение

На первом шаге разделить кучку нельзя. Если мы мы объединим две первых кучки, то дальше в любой из получающихся кучек количество камней будет кратно 5. В дальнейшем это свойство сохранится. Если мы объединим первую и третью кучки, то в дальнейшем число камней в каждой кучке будет кратно 7, а если объединим две последние кучки, то в дальнейшем число камней в каждой кучке будет кратно 3.


Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 2
Название Делимость
Тема Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер 04.046

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .