Задача 60737

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Малая теорема Ферма ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Пусть p – простое число,  p ≠ 2, 5.  Докажите, что существует число вида 1...1, кратное p.
Придумайте два решения задачи: одно, использующее теорему Ферма (задача 60736), и второе – принцип Дирихле.

Подсказка

Воспользуйтесь соотношением  10^p–1 = 9...9 ≡ 0 (mod p).
См. также задачу 34968.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.111