ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60787
Темы:    [ Теорема Эйлера ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все целые числа a, для которых число  a10 + 1  делится на 10.


Решение

Очевидно, что подходят только числа, для которых  (a, 10) = 1.  Так как  φ(10) = 4,  то сравнение   a10 + 1 ≡ 0 (mod 10)  равносильно сравнению  a² + 1 ≡ 0 (mod 10).  Перебирая случаи  a = ±1,  a = ±3,  находим, что  a ≡ ±3 (mod 10).


Ответ

a ≡ ±3 (mod 10).

Замечания

Знать теорему Эйлера необязательно. Достаточно заметить, что квадраты чисел, взаимно простых с 10, оканчиваются на 1 или 9, то есть
a² ≡ ±1 (mod 10).  Поэтому  a10 = (a²)5a² (mod 10).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 4
Название Теоремы Ферма и Эйлера
Тема Малая теорема Ферма
задача
Номер 04.161

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .