ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60817
Темы:    [ Системы счисления (прочее) ]
[ Признаки делимости (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Опишите все системы счисления, в которых число делится на 2 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 2.

б) Решите задачу, заменив модуль 2 произвольным натуральным числом  m > 1.


Решение

Сравнение  anqn + ... + a1q + a0an + ... + a1 + a0 (mod m)  равносильно сравнению  an(qn – 1) + ... + a1(q – 1) ≡ 0 (mod m),  которое имеет место независимо от ai тогда и только тогда, когда  q – 1 ≡ 0 (mod m).  В частности, для  m = 2  годится система счисления с любым нечётным основанием.


Ответ

а) Системы с нечётным основанием;   б)  q = 1 + mk  (k ≥ 1).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 5
Название Признаки делимости
Тема Признаки делимости (прочее)
задача
Номер 04.191

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .