ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60820
Темы:    [ Китайская теорема об остатках ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

При каких целых n число  n² + 3n + 1  делится на 55?


Подсказка

Исследуйте отдельно делимость на 5 и на 11.


Решение

  n² + 3n + 1 ≡ n² – 2n + 1 = (n – 1)² (mod 5);
  n² + 3n + 1 ≡ n² – 8n + 16 – 4 = (n – 4)² – 2² = (n – 6)(n – 2) (mod 11).
  Таким образом, нас интересуют числа n, удовлетворяющие системе  n ≡ 1 (mod 5),  n ≡ 2 или 6 (mod 11).


Ответ

n ≡ 6 (mod 55),  n ≡ 46 (mod 55).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 6
Название Китайская теорема об остатках
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер 04.194

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .