Задача 60854

Тема:    [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Может ли
а) сумма двух рациональных чисел быть иррациональной?
б) сумма двух иррациональных чисел быть рациональной?
в) иррациональное число в иррациональной степени быть рациональным?

Решение

а) нет. б) + (- ) = 0.
в) Определим число равенством ()^α = 2. Если = , то получаем невозможное равенство 3^p = 4^q.
Другой пример можно построить при помощи числа = √ 2^{√ 2}. Если оно рационально, то задача решена. Если оно иррационально, то = 2 и искомой парой чисел будут и .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	1
Название	Рациональные и иррациональные числа
Тема	Дроби
задача
Номер	05.016