Задача 60963

Темы:    [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Производная и касательная ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Можно ли из какой-то точки плоскости провести к графику многочлена n-й степени больше чем n касательных?

Решение

Уравнение касательной к графику многочлена P(x) в точке   (x₀, P(x_o))  имеет вид  y – P(x₀) = P'(x₀)(x – x_o).  Пусть касательные в точках  (x_k, P(x_k))  (k = 0, 1, ..., n)  проходят через точку  (a, b).  Тогда  b – P(x_k) = P'(x_k)(a – x_k),  то есть многочлен  P(x) – P'(x)(x – a) – b,  степень которого не выше n, имеет  n + 1  корень. Противоречие.

Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема	Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер	06.040