Задача 61002

Темы:    [ Теоремы Тейлора и приближения функций ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 4- Классы: 10,11 Название задачи: Формула Тейлора для многочленов.

Условие

Докажите, что любой многочлен P(x) степени n можно единственным образом разложить по степеням  x – c:

P(x) = c_k(x – c)^k,

причем коэффициенты c_k могут быть найдены по формуле

c_k =         (0 k n).

Подсказка

  Существование разложения доказывается многократным делением на   x – c  с остатком.
  Единственность следует из приведённой формулы для коэффициентов, которая проверяется непосредственным дифференцированием.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида для многочленов и теорема Безу.
Тема	Теорема Безу. Разложение на множители
задача
Номер	06.079