ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61010
Темы:    [ Разложение на множители ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть a, b, c — попарно различные числа. Докажите, что выражение  a2(c – b) + b2(a – c) + c2(b – a)  не равно нулю.


Решение 1

a2(c – b) + b2(a – c) + c2(b – a) = (a2cb2c) + (b2aa2b) + c2(b – a) = c(a2b2) – ab(a – b) – c2(a – b) = (a – b)(ac + bc – ab – c2) =
   = (a – b)(c(b – c) + a(c – b)) = (a – b)(b – c)(c – a) ≠ 0.


Решение 2

Числа b и c, очевидно, являются корнями трёхчлена  (c – b)x2 + b2(x – c) – c2(x – b).  Поэтому отличное от них число a не может являться его корнем.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 3
Название Разложение на множители
Тема Формулы сокращенного умножения
задача
Номер 06.087

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .