ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61035
Темы:    [ Симметрические многочлены ]
[ Кубические многочлены ]
[ Теорема Виета ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Постройте многочлен, корни которого равны квадратам корней многочлена  x3 + x2 – 2x – 1.


Решение

  Пусть  f(x) = x3 + x2 – 2x – 1.  Поскольку  f(–1) = 1,  а  f(0) = –1,  то f(x) имеет три действительных корня u, v, w.

  Первый способ. По теореме Виета  σ1 = u + v + w = – 1,  σ2 = uv + uw + vw = – 2,  σ3 = uvw = 1.  Согласно решению задачи 61030

 
Поэтому искомый многочлен равен  x3 – 5x2 + 6x – 1.

  Второй способ. Пусть  g(x) = (x – u2)(x – v2)(x – w2).  Тогда
    g(t2) = (t2u2)(t2v2)(t2w2) = (t + u)(t + v)(t + w)(t – u)(t – v)(t – w) = – f(– t)f(t) =
        = (t3t2 – 2t + 1)(t3 + t2 – 2t – 1) = (t3 – 2t)2 – (t2 – 1)2 = t2(t2 – 2)2 – (t2 – 1)2.
Значит,  g(x) = x(x – 2)2 – (x – 1)2 = x3 – 4x2 + 4x – (x2 – 2x + 1) = x3 – 5x2 + 6x – 1.

Ответ

x3 – 5x2 + 6x – 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 5
Название Теорема Виета
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 06.112

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .