ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61038
Темы:    [ Теорема Виета ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Кубические многочлены ]
[ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть известно, что все корни некоторого уравнения  x3 + px2 + qx + r = 0  положительны. Какому дополнительному условию должны удовлетворять его коэффициенты p, q и r для того, чтобы из отрезков, длины которых равны этим корням, можно было составить треугольник?


Решение

Пусть u, v, w – корни нашего уравнения. Условие эквивалентно неравенству  (v + w – u)(u + w – v)(u + v – w) > 0.  Но
(v + w – u)(u + w – v)(u + v – w) = (– p – 2u)(– p – 2v)(– p – 2w) = – p3 – 2(u + v + w)p2 – 4(uv + uw + vw)p – 8uvw =
  = – p3 + 2p3 – 4pq + 8r = p3 – 4pq + 8r.


Ответ

p3 – 4pq + 8r > 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 5
Название Теорема Виета
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 06.115

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .