ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61040
Темы:    [ Симметрические системы. Инволютивные преобразования ]
[ Симметрические многочлены ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите системы:

а)  

б)  x(y + z) = 2,  y(z + x) = 2,  z(x + y) = 3;

в)  x2 + y2 + x + y = 32,  12(x + y) = 7xy;

г)  

д)  x + y + z = 1,  xy + xz + yz = –4,  x3 + y3 + z3 = 1;

е)  x2 + y2 = 12,  x + y + xy = 9.


Решение

  а) Из последних двух уравнений следует, что  xyz = 6.  Таким образом, x, y, z определены однозначно с точностью до перестановки. Но одно решение –  (1, 2, 3)  – очевидно.

  б) Вычитая первые два уравнения, получаем  xz = yz.  Поскольку  z ≠ 0  (это видно из последнего уравнения), то  x = y.  Тогда из последнего уравнения  xz = 3/2.  Подставляя в первое уравнение, получаем  x2 = 1/2.

  в) Положим  u = x + y,  v = xy.  Тогда уравнения запишутся в виде  u2 + u – 2v = 32,  12u = 7v.  Подставляя v из второго уравнения в первое, получим  7u2 – 17u – 224 = 0,  откуда  u1 = 7,  u2 = – 32/7.  Соответственно,  v1 = 12,  v2 = – 384/49.  В первом случае x, y – корни квадратного уравнения  t2 – 7t + 12 = 0,  то есть  {x, y} = {3, 4};  во втором получаем квадратное уравнение  49t2 + 224t – 384 = 0.  Его корни равны  

  г) Уравнения можно записать в виде  2(x3 + y3) = 7xy,  2(x + y) = xy.  Поделив первое уравнение на второе, получим  x2xy + y2 = 7.  Положим  u = x + y,  v = xy.  Тогда  u2 – 3v = 7,  2u = v.  Подставляя, получим  u2 – 6u – 7 = 0,  откуда  u1 = 7,  u2 = – 1.  Соответственно,
v1 = 14,  v2 = – 2.  Уравнение  t2 – 7t + 14 = 0,  соответствующее первому случаю корней не имеет; во втором получаем квадратное уравнение  t2 + t – 2 = 0.  Его корни равны 1 и –2.

  д) Одно решение –  {1, 2, –2}  – очевидно. Других решений нет – см. решение задачи 61039.

  е) Положим  u = x + y,  v = xy.  Тогда уравнения запишутся в виде  u2 – 2v = 12,  u + v = 9.  Подставляя, получим  u2 + 2u – 30 = 0,  откуда
  x, y – корни квадратного уравнения вида  t2ut + (9 – u) = 0,  то есть равны

  Подкоренное выражение положительно только при первом значении  


Ответ

а)  {1, 2, 3};     б)       в)  

г)  {1, –2};     д)  {1, 2, –2};     е)  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 5
Название Теорема Виета
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 06.117

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .