ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61047
Темы:    [ Теорема Виета ]
[ Кубические многочлены ]
[ Возрастание и убывание. Исследование функций ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В каком из двух уравнений сумма квадратов корней больше
  а)  4x3 – 18x2 + 24x = 8,     4x3 – 18x2 + 24x = 9;
  б)  4x3 – 18x2 + 24x = 11,     4x3 – 18x2 + 24x = 12?


Решение

  По формулам Виета сумма квадратов корней каждого из четырёх уравнений, включая комплексные, равна  (18/4)2 – 2·6 = 8,25.  Найдем количество действительных корней каждого из уравнений.
  Производная функции  f(x) = 4x3 – 18x2 + 24x  равна  12(x2 – 3x + 2)  и обращается в ноль в точках  x1 = 1  и  x2 = 2.  При этом  f(1) = 10,
f(2) = 8.

  а) Оба уравнения имеют по три корня (у второго есть кратный корень  x2 = 2).  Поэтому суммы их квадратов одинаковы.

  б) Оба уравнения имеют по одному корню, причем в силу возрастания функции f на участке  (2, + ∞)  корень второго уравнения больше.


Ответ

а) Одинакова;  б) у второго уравнения больше.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 5
Название Теорема Виета
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 06.124

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .