Задача 61096

Темы:    [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Вычислите:
  а)  cos ^2π/₇ + cos ^4π/₇ + cos ^6π/₇;
  б)   cos ^2π/₇ cos ^4π/₇ cos ^6π/₇.

Подсказка

  а) Первый способ. Пусть  z = cos ^2π/₇ + isin ^2π/₇.   Тогда

  Второй способ.   2sin α (cos 2α + cos 4α + cos 6α) = sin 3α – sin α + sin 5α – sin 3α + sin 7α – sin 5α = sin 7α – sin α.

  б)  cos α cos 2α cos 3α = ½ cos 2α (cos 2α + cos 4α) = ¼ (1 + cos 4α + cos 2α + cos 6α).

Ответ

а) – ¹/₂;  б) ¹/₈.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.032