Задача 61270

Темы:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Кубические многочлены ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения  x³ + ax² + 18 = 0,   x³ + bx + 12 = 0  имеют два общих корня, и определите эти корни.

Решение

Оба общих корня являются корнями трёхчлена  (x³ + ax² + 18) – (x³ + bx + 12) = ax² – bx + 6.  По теореме Безу оба кубических многочлена делятся на этот трёхчлен:  x³ + bx + 12 = (ax²– bx + 6)(cx + d).  Сравнивая коэффициенты, получаем:  ac = 1,  ad – bc = 0,  6c – bd = b,  6d = 12,  откуда  d = 2,  b = 2c,  a = c²,
c³ = 1.  Итак,  a = c = 1,  b = d = 2.  Осталось найти корни трёхчлена  x² – 2x + 6.

Ответ

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Уравнения третьей степени
Тема	Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер	09.019