Задача 61281

Темы:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ] [ Тригонометрические замены ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Решите систему
    x² + y² = 1,
    4xy(2y² – 1) = 1.

Решение

Сделав замену  x = sin φ,  y = cos φ,  получим уравнение  4 sin φ cos φ (2 cos²φ – 1) = 1,  то есть  sin 4φ = 1.  Отсюда  φ = ^π/₈ + ^kπ/₂.

Ответ

(± sin ^π/₈, ± cos ^π/₈),  (± sin ^5π/₈, ± cos ^5π/₈),  или  

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	2
Название	Тригонометрические замены
Тема	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер	09.030