Задача 61403

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Производная и экстремумы ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Докажите неравенство:  
Значения переменных считаются положительными.

Подсказка

Рассмотрите функции  f_k(x) = a_ke^x – b_k(x + 1)  и примените задачу 614000.

Решение

  Рассмотрим функцию  f(x) = aex – b(x + 1)  (a, b > 0).  Её производная   f'(x) = aex – b  строго возрастает и обращается в ноль в точке     Следовательно,  
  Поскольку  a₁e^x – b₁(x + 1) + ... + a_nex – b_n(x + 1) = (a₁ + ... + a_n)e^x – (b₁ + ... + b_n)(x + 1),  то согласно задаче 61400     что эквивалентно доказываемому неравенству.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
параграф
Номер	2
Название	Суммы и минимумы
Тема	Алгебраические неравенства (прочее)
задача
Номер	10.052