Условие
Пусть характеристическое уравнение (
11.3)
последовательности {
an} имеет два различных корня
x1 и
x2. Докажите, что при фиксированных
a0,
a1 существует ровно
одна пара чисел
c1,
c2 такая, что
an = c1x1n + c2x2n (n = 0, 1, 2,...).
Решение
Согласно задаче
11.32
, последовательности
{
an} =
cixin (
i = 1, 2) для любых
c1,
c2
являются решениями уравнения (
11.2
), поэтому их сумма
будет удовлетворять тому же уравнению. С другой стороны, числа
c1,
c2 можно подобрать так, чтобы
a0 =
c1 +
c2,
a1 =
c1x1 +
c2x2. После этого получается, что две
последовательности {
an} и
{
c1x1n +
c2x2n}
удовлетворяют одному и тому же уравнению и имеют одинаковые
начальные условия. Согласно задаче
11.31
, они совпадают.
Источники и прецеденты использования
