Задача 61542

Темы:    [ Системы счисления (прочее) ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Из километров — в мили. В задаче 3.125 была введена фибоначчиева система счисления. Она оказывается удобной, когда нужно сделать перевод расстояния из километров в мили или наоборот.
Предположим, что мы хотим узнать, сколько миль в 30 километрах. Для этого представляем число 30 в фибоначчиевой системе счисления:

30 = 21 + 8 + 1 = F₈ + F₆ + F₂ = (1010001)_F.

Теперь нужно сдвинуть каждое число на одну позицию вправо, получая

F₇ + F₅ + F₁ = 13 + 5 + 1 = 19 = (101001)_F.

Поэтому предполагаемый результат — 19 миль. (Правильный ответ — около 18.46 миль.) Аналогично делается перевод из миль в километры.
Объясните, почему работает такой алгоритм. Проверьте, что он дает округленное число миль в n километрах при всех n 100, отличающееся от правильного ответа меньше чем на 2/3 мили.

Подсказка

Отношение длины мили к длине километра равно 1, 609..., что мало отличается от числа = 1, 618...

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	12
Название	Шутки и ошибки
Тема	Парадоксы
задача
Номер	12.014