ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64192
Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Инварианты ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске было написано уравнение вида  x² + px + q = 0  с целыми ненулевыми коэффициентами p и q. Временами к доске подходили разные школьники, стирали уравнение, после чего составляли и записывали уравнение такого же вида, корнями которого являются коэффициенты стёртого уравнения. В какой-то момент составленное уравнение совпало с тем, что было написано на доске изначально. Какое уравнение изначально было написано на доске?


Решение

По теореме Виета, коэффициенты нового трёхчлена равны  –(p + q)  и pq соответственно. Заметим, что ни у одного из написанных трёхчленов второй коэффициент (при x) не может быть равен нулю. Действительно, в этом случае у всех последующих трёхчленов свободный член был бы равен нулю, а значит, среди них не мог встретиться исходный многочлен. Далее, у каждого следующего трёхчлена модуль свободного члена не меньше, чем у предыдущего. Следовательно, модули всех свободных членов равны, а значит, все вторые коэффициенты равны ±1. Итак,  – (p + q) = ± 1,  p = ± 1.  Поэтому для первого трёхчлена возможны только два варианта:  x² + x – 2  и  x² – x + 2.  Несложно проверить, что в первом случае трёхчлен не изменяется, а во втором сначала получается трёхчлен  x² – x – 2,  а потом – трёхчлен  x² + 3x + 2,  модуль второго коэффициента которого не равен единице.


Ответ

x² + x – 2.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер 27
Дата 2004
задача
Номер #6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .