ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64332
Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC биссектриса AK перпендикулярна медиане CL.
Докажите, что в треугольнике BKL также одна из биссектрис перпендикулярна одной из медиан.


Решение

  Докажем, что биссектриса KN и медиана LM треугольника BKL перпендикулярны (см. рис.).

  Пусть E – точка пересечения AK и CL. В треугольнике ACL биссектриса AE является высотой, а следовательно, и медианой. Значит, KE – серединный перпендикуляр к отрезку CE и  CA = LA = LB.  Кроме того, треугольник CKL – равнобедренный, откуда KE – биссектриса угла LKC.
  Биссектрисы смежных углов перпендикулярны, поэтому  KNAK.  Кроме того, LM – средняя линия в треугольнике ABK, то есть  LM || AK,  следовательно,  LMKN.

Замечания

Заметим, что биссектриса и медиана треугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда одна сторона треугольника вдвое больше другой. Используя этот факт и свойство биссектрисы, можно получить, что в треугольнике BKL сторона BK вдвое больше чем LK, что даёт другой способ решения задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 11 (2013 год)
Дата 2013-04-14
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .