ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64344
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Доказательство от противного ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны различные действительные числа a, b, с. Докажите, что хотя бы два из уравнений  (x – a)(x – b) = x – c,  (x – b)(x – c) = x – a,
(x – c)(x – a) = x – b  имеют решение.


Решение 1

  Обозначим  f1(x) = (x – b)(x – c) – (x – a),  f2(x) = (x – c)(x – a) – (x – b)  и  f3(x) = (x – a)(x – b) – (x – c).  Предположим, что две из этих функций – скажем, f1 и f2 – корней не имеют. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. По предположению  f1(x) > 0  и  f2(x) > 0  при всех x. Однако трёхчлен
f1(x) + f2(x) = (x – c)(x – b + x – a) – (x – a + x – b) = (2xa – b)(x – c – 1)  имеет, например, корень  x0 = c + 1.  Противоречие.

  Второй способ. Дискриминанты трёхчленов f1(x) и f2(x) отрицательны, то есть  (b + c + 1)² < 4(bc + a)  и  (c + a + 1)² < 4(ca + b).  Эти неравенства переписываются в виде  (b – c – 1)² < 4(a – b)  и  (c – a + 1)² < 4(b – a).  Значит, оба числа в правых частях положительны, что невозможно.


Решение 2

  Пусть для определённости  a < b < c.  Рассмотрим графики функций  fbc(x) = (xb)(xc)  и  fa(x) = x – a.  При  x = a  точка первого графика выше точки второго:  fbc(a) = (a – b)(a – c) > 0 = fa(a),  а при  x = b  – ниже:  fbc(b) = 0 < b – a = fa(b).  Значит, уравнение  fbc(x) = fa(x)  имеет корень на отрезке  [a, b]  (рис. слева).

           
  Аналогично уравнение  fac(x) = fb(x)  также имеет корень на отрезке  [a, b]  (рис. справа).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
Вариант 5
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .