ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64348
Тема:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

По кругу расставлено 2n действительных чисел, сумма которых положительна. Для каждого из них рассмотрим обе группы из n подряд стоящих чисел, в которых это число является крайним. Докажите, что найдётся число, для которого сумма чисел в каждой из двух таких групп положительна.


Решение

  Данные числа занумеруем в порядке обхода по часовой стрелке: a1, a2, ..., a2n; обозначим через  S > 0  сумму всех чисел и положим
Si = ai + ai+1 + ... + ai+n–1  (все индексы рассматриваются по модулю 2n,  так что  a2n+i = ai  и  S2n+i = Si).  Нам надо доказать, что при некотором i обе суммы Si и Si–n+1 положительны. Заметим, что  Si + Sn+i = S > 0,  так что среди чисел Si есть положительные.
  Если все суммы Si положительны, то любой индекс i подходит. В противном случае найдётся такой индекс i, что  Si > 0,  а  Si+1 ≤ 0.  Тогда
Si–n+1 = SSi+1 > 0,  и индекс i – искомый.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .