ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64349
Темы:    [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Арифметическая прогрессия ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Петя и Вася придумали десять квадратных трёхчленов. Затем Вася по очереди называл последовательные натуральные числа (начиная с некоторого), а Петя каждое названное число подставлял в один из трёхчленов по своему выбору и записывал полученные значения на доску слева направо. Оказалось, что числа, записанные на доске, образуют арифметическую прогрессию (именно в этом порядке).
Какое максимальное количество чисел Вася мог назвать?


Решение

  Оценка. В каждый трёхчлен P(x) Петя мог подставить не более двух чисел. Действительно, пусть n-й член получившейся арифметической прогрессии равен  an + b,  а n-е из Васиных последовательных чисел равно  k + n.  Если Петя подставил это число в P(x), то  P(k + n) = an + b,  а это квадратное уравнение относительно n имеет не более двух корней. Поэтому всего чисел не могло быть больше 20.

  Пример. Пусть были выбраны трёхчлены  Pk(x) = (x – 2k + 1)(x – 2k) + x  при  k = 1, 2, ..., 10,  и Вася называл числа 1, 2, ..., 20. Так как  Pk(2k – 1) = 2k – 1  и  Pk(2k) = 2k,  то у Пети могли получиться последовательно числа 1, 2, ..., 20.


Ответ

20 чисел.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .