|
|
 |
Условие
На окружности отметили n точек, разбивающие её на n дуг. Окружность повернули вокруг центра на угол 2πk/n (при некотором натуральном k), в результате чего отмеченные точки перешли в n новых точек, разбивающих окружность на n новых дуг.
Докажите, что найдётся новая дуга, которая целиком лежит в одной из старых дуг. (Считается, что концы дуги ей принадлежат.)
Решение
Будем считать, что радиус окружности равен 1, а поворот происходил по часовой стрелке. Можно также считать, что k < n. Если две новых точки лежат на одной старой дуге, то новая дуга между ними – требуемая. Предположим, что таких новых точек нет. Так как есть n старых дуг и n новых точек, это возможно только в случае, когда на каждой старой дуге лежит ровно по одной новой точке (причём эти точки не совпадают с концами старых дуг).
Занумеруем старые точки по часовой стрелке A1, A2, ..., An; при повороте точка Ai переходит в новую точку Bi (мы считаем нумерацию циклической, то есть An+i = Ai и Bn+i = Bi). Пусть точка B1 лежит на дуге AjAj+1. Так как на каждой старой дуге ровно по одной новой точке, соседние точки попадали на соседние дуги: при каждом i точка Bi лежит на дуге Aj+i–1Aj+i.
Предположим, что j ≤ k. Все дуги вида AiAi+1...Ai+j покрывают окружность ровно в j слоёв; значит, сумма их длин равна 2πj ≤ 2πk. С другой стороны, длина дуги AiAi+1...Ai+j больше длины дуги AiBi, которая равна 2πk/n; значит, сумма их длин больше чем n·2πk/n = 2πk. Противоречие.
Если же j > k, то сумма длин всех дуг вида AiAi+1...Ai+j–1 равна 2π(j – 1) ≥ 2πk. С другой стороны, она меньше суммы длин всех дуг AiBi, которая равна 2πk. Опять противоречие.
