ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64366
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Инверсия помогает решить задачу ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Ильясов С.

В треугольник ABC вписана окружность ω с центром в точке I. Около треугольника AIB описана окружность Г. Окружности ω и Г пересекаются в точках X и Y. Общие касательные к окружностям ω и Г пересекаются в точке Z. Докажите, что описанные окружности треугольников ABC и XYZ, касаются.


Решение

  Пусть биссектриса CI повторно пересекает описанную окружность Ω треугольника ABC в точке S. Тогда точка S – центр окружности Г (см. задачу 53119). Из симметрии точка Z лежит на прямой SC.
  Пусть общие касательные к окружностям ω и Г касаются Г в точках M и N (см. рис.). Линия центров SI является серединным перпендикуляром к отрезку MN, а прямая MZ касается Г, то  ∠IMN = ∠INM = ∠IMZ.  Значит, MI – биссектриса угла ZMN, то есть расстояния от I до ZM и MN равны. Поскольку ω касается ZM, она также касается прямой MN в некоторой точке Z'; из симметрии, эта точка лежит на SI.

  Из прямоугольного треугольника SMZ получаем  SZ·SZ' = SM2  (см. задачу 56452). Это означает, что при инверсии относительно окружности Г точка Z' перейдёт в точку Z. Значит, окружность ω, содержащая точки X, Y и Z', перейдёт в описанную окружность треугольника XYZ. При этой инверсии прямая AB переходит в окружность Ω. Поскольку ω и AB касаются, их образы также будут касаться, что и требовалось.

Замечания

Другое решение можно получить, сделав инверсию относительно окружности ω. При этой инверсии: точки A, B, C переходят в середины
A", B", C" сторон B'C', C'A', A'B' треугольника с вершинами в точках касания ω со сторонами треугольника ABC; окружность Г переходит
в прямую XY, которая содержит среднюю линию A"B" треугольника A'B'C'; описанная окружность треугольника XYZ переходит
в окружность ω', симметричную ω относительно XY. Значит, надо доказать, что ω' касается описанной окружности треугольника A"B"C".
А это верно, поскольку при симметрии относительно XY последняя окружность переходит в описанную окружность треугольника A"B"C", которая касается ω.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
Вариант 5
класс
1
Класс 11
задача
Номер 11.8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .