ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64389
Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Высота AA', медиана BB' и биссектриса CC' треугольника ABC пересекаются в точке K. Известно, что  A'K = B'K.
Докажите, что и отрезок C'K имеет ту же длину.


Решение

  Так как точка K лежит на биссектрисе угла C, расстояние от нее до прямой AC равно расстоянию до BC, то есть KA' (см. рис.).

  Поскольку  KA' = KB',  то  KB'AC. Значит, медиана BB' является также высотой и  AB = BC.  Тогда BK и CK – биссектрисы треугольника, следовательно, AK – тоже биссектриса, а поскольку AK – высота, то  AB = AC.  Таким образом, треугольник ABC – равносторонний, и  A'K = B'K = C'K.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2013
класс
Класс 8
задача
Номер 8.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .