Задача 64392

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Дмитриев И.

Пусть P – произвольная точка на дуге AC описанной окружности треугольника ABC, не содержащей точки B. Биссектриса угла APB пересекает биссектрису угла BAC в точке P_a; биссектриса угла CPB пересекает биссектрису угла BCA в точке P_c. Докажите, что для всех точек P центры описанных окружностей треугольников PP_aP_c лежат на одной прямой.

Решение

  Прямые PP_a, PP_c вторично пересекают описанную окружность треугольника в серединах C', A' дуг AB, BC (см. рис.).

  Поэтому  ∠PaPPc = ½ (∠A + ∠C) = 180° – ∠AIC,  где I – центр вписанной окружности треугольника. Значит, окружность PP_aP_c проходит через точку I. Зафиксируем теперь какое-нибудь положение точки P и вторую точку J пересечения описанных окружностей треугольников PP_aP_c и ABC. Для любой другой точки P' имеем  ∠JP'P'_c = ∠JP'A' = 180° – ∠JPA' = 180° – ∠JPP_c = ∠JIP_c = ∠JIP'_c  (если P и P' расположены, как на рисунке, в других случаях рассуждения аналогичны), то есть окружность P'P'_aP'_c также проходит через J. Следовательно, центры всех окружностей PP_aP_c лежат на серединном перпендикуляре к отрезку IJ.

Замечания

Рассмотрим полувписанную окружность ω (касающуюся отрезков BA, BC и дуги APC). В частном случае, когда P – точка касания окружностей ω и Ω, J совпадает с P. Отсюда получаем описание точки J как точки касания Ω с полувписанной окружностью. Как известно (см., например, параграф "Полувписанная окружность" книги "Математика в задачах"), J также лежит на прямой IS, где S – середина дуги ABC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
класс
Класс	8
задача
Номер	8.8