ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64397
Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что  BK : CK = FS : ES.


Решение

Проведём через F и E прямые, параллельные AK и пересекающие BC в точках P и Q (см. рис.). По теореме Фалеса  PM = MQ,  значит,
CP = BQ  и    Применив теперь теорему Менелая к треугольнику AFE и прямой CB, получим     что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2013
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .