ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64398
Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через вершину B правильного треугольника ABC проведена прямая l. Окружность ωa с центром Ia касается стороны BC в точке A1 и прямых l и AC. Окружность ωc с центром Ic касается стороны BA в точке C1 и прямых l и AC. Докажите, что ортоцентр треугольника A1BC1 лежит на прямой IaIc.


Решение

Так как  ∠BAIc = ∠BCIa = 60°,  точки, симметричные Ic и Ia относительно BA и BC соответственно, лежат на прямой AC. С другой стороны,
ABIc + ∠CBIa = 60° = ∠ABC,  следовательно, прямые, симметричные BIc и BIa относительно AB и BC, пересекают AC в одной и той же точке J (см. рис.). Значит, A1C1 – средняя линия треугольника JIaIc. Тогда высоты треугольника A1BC1, проведённые из вершин A1 и C1, параллельные радиусам IcC1, IaA1 соответственно, тоже являются средними линиями этого треугольника и пересекаются в середине отрезка IaIc.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2013
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .