ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64403
Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Выход в пространство ]
[ Окружность Аполлония ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4+
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что  XA·BC = XB·AC = XC·ABI1, I2, I3 – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI1, BI2 и CI3 пересекаются в одной точке.


Решение 1

  Пусть ABCX' – тетраэдр, в котором  AB·CX' = BC·AX' = CA·BX'.     (*)
  Обозначим через I'a, I'b и I'c центры вписанных окружностей треугольников BCX', ACX' и ABX'. Из (*) следует, что биссектрисы AI'a и BI'a углов X'AC и X'BC пересекают отрезок X'C в одной точке. Значит, отрезки AI'a и BI'b пересекаются. Аналогично, каждый из них пересекается с отрезком CI'c. Поскольку эти три отрезка некомпланарны, они пересекаются в одной общей точке.
  Устремив X' к X вдоль окружности, по которой пересекаются три сферы Аполлония для пар точек  (A, B),  (B, C),  (A, C),  получим утверждение задачи.


Решение 2

  Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, а A1, B1 и C1 – основания соответствующих биссектрис в этом треугольнике. Пусть прямая CI3 пересекает XI в точке Tc; точки Ta и Tb определим аналогично. Докажем, что  Ta = Tb = Tc.
  Поскольку  ,  биссектриса XI3 угла BXA проходит через C1. Применяя теорему Менелая к треугольнику XIC1 и используя свойство биссектрисы AI3 угла XAC1, имеем  
  Аналогично получаем     Но     откуда     что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2013
класс
Класс 10
задача
Номер 10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .