|
|
 |
Условие
Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что XA·BC = XB·AC = XC·AB; I1, I2, I3 – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI1, BI2 и CI3 пересекаются в одной точке.
Решение 1
Пусть ABCX' – тетраэдр, в котором AB·CX' = BC·AX' = CA·BX'. (*)
Обозначим через I'a, I'b и I'c центры вписанных окружностей треугольников BCX', ACX' и ABX'. Из (*) следует, что биссектрисы AI'a и BI'a углов X'AC и X'BC пересекают отрезок X'C в одной точке. Значит, отрезки AI'a и BI'b пересекаются. Аналогично, каждый из них пересекается с отрезком CI'c. Поскольку эти три отрезка некомпланарны, они пересекаются в одной общей точке.
Устремив X' к X вдоль окружности, по которой пересекаются три сферы Аполлония для пар точек (A, B), (B, C), (A, C), получим утверждение задачи.
Решение 2
Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, а A1, B1 и C1 – основания соответствующих биссектрис в этом треугольнике. Пусть прямая CI3 пересекает XI в точке Tc; точки Ta и Tb определим аналогично. Докажем, что Ta = Tb = Tc.
Поскольку , биссектриса XI3 угла BXA проходит через C1. Применяя теорему Менелая к треугольнику XIC1 и используя свойство биссектрисы AI3 угла XAC1, имеем
Аналогично получаем Но
откуда
что и требовалось.
