ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64432
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и CD прямоугольника ABCD отметили точки E и F, так что AFCE – ромб. Известно, что  АВ = 16,  ВС = 12.  Найдите EF.


Решение

  Из условия задачи следует, что прямоугольник и ромб имеют общий центр симметрии О. Из прямоугольного треугольника АВС найдём, что  АС = 20  (см. рис.). Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Пусть  AE = EC = x,  тогда  ВЕ = 16 – x.  Из прямоугольного треугольника СВЕ:  x² = 122 + (16 – x)².  Отсюда  x = 12,5.  Из прямоугольного треугольника СОЕ:  ОЕ² = EC² – СО² = 7,5²;  тогда  ЕF = 2OE = 15.

  Второй способ. Точки B и O лежат на окружности с диаметром CE. По теореме о произведении отрезков секущей  AE·AB = AO·OC,  то есть  16AB = 200,  откуда  AB = 12,5.  По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма  EF² = 4AE² – AC² = 25² – 20² = 15².


Ответ

15.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2013/14
класс
Класс 9
задача
Номер 9.5.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .