|
|
 |
Условие
В окружность вписан 101-угольник. Из каждой его вершины опустили перпендикуляр на прямую, содержащую противоположную сторону.
Докажите, что хотя бы у одного из перпендикуляров основание попадёт на сторону (а не на её продолжение).
Решение 1
Проведём все большие диагонали A1A51, A2A52, ... 101-угольника A1A2...A101 (мы считаем, что A102 = A1, A103 = A2, ...). Получится звезда со 101 ребром. Окрасим диагональ AkAk+50 в синий цвет, если дуга AkAk+1Ak+50 меньше половины окружности (то есть угол, на неё опирающийся, – острый), и в красный цвет в противном случае. Обойдём звезду по рёбрам. Заметим, что два красных ребра не могут идти подряд, так как сумма ста подряд идущих дуг, соответствующих сторонам 101-угольника, меньше полной окружности. Чередоваться цвета не могут из-за нечётности числа 101. Значит, где-то две синие диагонали идут подряд. Пусть это, например, диагонали A52A1 и A1A51. Тогда в треугольнике A52A1A51 углы A1A52A51 и A1A51A52 – острые, следовательно, высота, опущенная из вершины A1, попадает на противоположную сторону A52A51.
Решение 2
Сотрём пока пары диаметрально противоположных вершин. Останется 2n + 1 вершина; через каждую из них проведём диаметр. Выберем один из них и подсчитаем количество оставшихся вершин справа от него. Перейдём к следующему по кругу диаметру. Заметим, что количество вершин справа от диаметра при этом изменилось не более чем на единицу. Двигаясь таким образом, мы вернёмся к первому диаметру, только сейчас то, что справа от него, изначально было слева. Если сначала справа было больше n вершин, то стало меньше n, и наоборот. В любом случае, в какой-то момент справа от какого-то диаметра было ровно n вершин, и слева столько же. Восстановив стёртые вершины, мы добавим поровну вершин справа и слева от него. Значит, этот диаметр пересечёт сторону, противоположную вершине, из которой он выпущен. Таким образом, в треугольнике, образованном этой стороной и этой вершиной, углы при стороне будут опираться на дуги, меньшие полуокружности, то есть будут острыми. Поэтому основание высоты треугольника, опущенной из этой вершины, находится внутри стороны.
Замечания
9 баллов
