|
|
 |
Условие
Точка внутри выпуклого четырёхугольника соединена с вершинами. Получились четыре равных треугольника.
Верно ли, что четырёхугольник – ромб?
Решение
Пусть ABCD и O – четырёхугольник и точка из условия. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Так как треугольники ABO и CBO равны, то углы BAO и BCO равны, как лежащие против BO. Аналогично ∠DAO = ∠DCO, откуда ∠BAD = ∠BCD. Точно так же равны и два других противоположных угла четырёхугольника, поэтому сумма любых двух соседних углов равна π, то есть ABCD – параллелограмм.
При точке O найдутся два соседних угла, сумма которых не меньше π, скажем угол AOB и угол COB. Второй из них равен одному из углов треугольника AOB. Это может быть только угол AOB, так как его сумма с любым другим углом треугольника AOB меньше π. В равных треугольниках AOB и COB против равных углов лежат равные стороны, поэтому AB = BC и, значит, ABCD – ромб.
Ответ
Верно.
