|
|
 |
Условие
На каждой стороне треугольника ABC отмечены две различные точки. Известно, что это основания высот и биссектрис.
а) Пользуясь только линейкой без делений, определите, где высоты, а где биссектрисы.
б) Решите пункт а), проведя только три прямых.Решение
Поскольку все основания высот и биссектрис по условию различны, треугольник неравнобедренный. На любой стороне треугольника основание высоты лежит ближе к меньшей из прилежащих сторон, чем основание биссектрисы, и поэтому достаточно определить, какая сторона треугольника наибольшая, наименьшая и средняя. Основания биссектрисы и высоты, проведённых из некоторой вершины X, будем обозначать LX и HX соответственно.
Лемма. Если AC > BC, то прямые LBLA и HBHA пересекают продолжение стороны AB за вершину B.
Доказательство. Пусть LBD – перпендикуляр, опущенный на AB, а CH – высота. По свойству биссектрисы Аналогично если LAE – перпендикуляр, опущенный на AB, то
Так как AC > BC, то LBD > LAE, поэтому LBLA пересекает AB за вершиной B.
Точки HB, HA лежат на полуокружности с диаметром AB. Если бы углы HAAB и HBBA были равны, то перпендикуляры из HA и HB на AB также были бы равны. Но первый из углов меньше, поэтому и соответствующий перпендикуляр меньше.
а) Соединим отмеченные точки с противолежащими вершинами. Получим два семейства конкуррентных прямых. На двух сторонах треугольника возьмём точки, принадлежащие одному и тому же семейству, и проведём через них прямую. Согласно лемме она пересекает продолжение третьей стороны за меньшей из двух выбранных сторон – независимо от того, какому семейству соответствуют выбранные точки. Отсюда и определяется, какая сторона треугольника самая короткая, а какая – самая длинная.
б) Для каждой вершины треугольника выберем на прилежащих сторонах ближайшие отмеченные точки и соединим их прямой. Как будет показано ниже, эти прямые пересекут продолжение наибольшей стороны треугольника за вершину среднего угла и продолжения остальных двух сторон за вершину наибольшего угла. Отсюда определяется, какая сторона треугольника самая короткая, а какая – самая длинная.
Докажем утверждение, выделенное курсивом. Пусть AB > AC > BC. Отмеченные точки, ближайшие (по сторонам) к вершине наименьшего угла, – основания биссектрис, а ближайшие к вершине наибольшего угла – основания высот. Согласно лемме соединяющие их прямые пересекают соответственно продолжение стороны BC за точку C и продолжение AB за точку B. Отмеченные точки, ближайшие по сторонам к вершине среднего угла B, – это HC и LA. Согласно лемме прямая LCLA пересекает продолжение AC за точку C в некоторой точке P. Луч HCLA направлен внутрь треугольника HCCP и потому пересекает отрезок CP, что и требуется.
