Задача 64469

Темы:    [ Проекции оснований, сторон или вершин трапеции ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Точки M, N – середины диагоналей AC, BD прямоугольной трапеции ABCD  (∠A = ∠D = 90°).  Описанные окружности треугольников ABN, CDM пересекают прямую BC в точках Q, R. Докажите, что точки Q, R равноудалены от середины отрезка MN.

Решение

Пусть X, Y – проекции точек N и M на BC. Тогда утверждение задачи равносильно равенству  RY = XQ.  Заметим, что треугольник ANB – равнобедренный (AN – медиана прямоугольного треугольника BAD). Так как  ∠NQX = ∠NAB = ∠DBA  (см. рис.), то

 

Аналогично  

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
год
Год	2013
задача
Номер	14