ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64477
Темы:    [ Пространственные многоугольники ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Проектирование помогает решить задачу ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
[ Окружности, вписанные в сегмент ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.


Решение

Пусть K, L, M, N – точки на сторонах AB, BC, CD, DA пространственного четырёхугольника ABCD, являющиеся основаниями общих перпендикуляров. При проекции на плоскость, параллельную KM и LN, эти прямые перейдут в перпендикулярные прямые K'M' и L'N'. По теореме о трёх перпендикулярах проекции прямых AB и CD будут перпендикулярны K'M', а проекции прямых BC и AD перпендикулярны L'N'. Следовательно, четырёхугольник ABCD проецируется в прямоугольник A'B'C'D', причём  A'K' = D'M',  B'L' = A'N'.  Значит,  AK : KB = DM : MCBL : LC = AN : ND.  Пусть P и Q – соответственно точки пересечения KL и MN с AC. По теореме Менелая     Поэтому точки P и Q совпадают, откуда и следует, что точки K, L, M, N лежат в одной плоскости.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2013
год
Год 2013
задача
Номер 22

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .