ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64513
Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В ромбе ABCD  ∠А = 120°.  На сторонах BC и CD взяты точки M и N так, что  ∠NAM = 30°.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника NAM лежит на диагонали ромба.


Решение 1

  Пусть O – центр указанной описанной окружности. При повороте на 60° вокруг точки M луч CD переходит в часть луча CA (M лежит на биссектрисе внешнего угла C треугольника ACD и, значит, равноудалена от прямых CD и CA), а лежащая на нем точка N – в точку O (треугольник MON – правильный). Следовательно, O лежит на луче CA. Она не может лежать за точкой A, поскольку оттуда отрезок MN виден под углом, меньшим 30° (и, тем более, 60°). Значит, O лежит на диагонали AC.


Решение 2

  При  DM = DN  картинка симметрична относительно AC, поэтому O лежит на AC.
  Пусть  DM < DN.  Рассмотрим точки M' и N', симметричные M и N относительно AC. MM'NN' – равнобедренная трапеция, значит, она вписана в окружность с центром на диагонали AC. Поскольку  ∠NAM = 30° = ∠NN'M,  эта окружность проходит через точку A, то есть является описанной окружностью треугольника NAM.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .