ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64518
Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Прямые и плоскости в пространстве (прочее) ]
[ Центр масс ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри некоторого тетраэдра взяли произвольную точку X. Через каждую вершину тетраэдра провели прямую, параллельную отрезку, соединяющему X с точкой пересечения медиан противоположной грани. Докажите, что четыре полученные прямые пересекаются в одной точке.


Решение

Пусть O – центр масс тетраэдра ABCD, T – точка пересечения медиан грани ABC. При гомотетии с центром O и коэффициентом –3, T перейдёт в D, а X – в некую точку Y. Поэтому  DY || TX,  то есть DY – одна из указанных прямых (прямая TO совпадает с DT). Аналогично три остальные прямые проходят через точку Y.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2008/2009
Номер 30
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .