Задача 64519

Темы:    [ Теория игр (прочее) ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Баранов Д.В.

Вася и Петя играют в следующую игру. На доске написаны два числа: ¹/₂₀₀₉ и ¹/₂₀₀₈. На каждом ходу Вася называет любое число x, а Петя увеличивает одно из чисел на доске (какое захочет) на x. Вася выигрывает, если в какой-то момент одно из чисел на доске станет равным 1. Сможет ли Вася выиграть, как бы ни действовал Петя?

Решение

Васе достаточно на каждом шаге называть число  a = ¹/_2008·2009.  Тогда оба числа на доске будут "кратны" a. Так как сумма чисел растёт, то по дискретной непрерывности когда-нибудь одно из них станет равным 1.

Ответ

Сможет.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2008/2009
Номер	30
вариант
Вариант	весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	1